﻿\documentclass{GangTimesBlog}
%=================正文=====================
\begin{document}
\maketitle
\par{
	\mytitle{背景知识}
	\mycontent
	{
	在科学实验和实验数据处理中，通常需要考察某些因素对我们所关心的某个指标的影响。实际上，各种因素和指标都有
	一些可变化的量，这些变量往往处在同一过程之中，他们相互制约，相互联系。变量之间的这种关系称为相关关系
	或称为统计依赖关系，回归分析就是研究这种相关关系的统计方法。相关关系中的变量有两种类型：第一种是能够
	人为控制或者可以观察的量，称为自变量或预报变量；第二种是随着自变量变化的量，称为因变量或者响应变量。
	在实际过程中，由于回归函数未知，所以对回归函数的形式进行了假设，但是参数未知。回归分析的目的就是要在
	假设模型形式的基础之上优化得出模型中的未知参数。本文主要分析的是简单的多元线性回归模型。
	}
}
\par
{
	\mytitle{线性回归模型}
	\mycontent
	{
	设自变量$x_1,x_2,...,x_k$是响应变量$y$的$k$个因素，假定他们之间有如下线性关系
	\begin{equation}
		y=\theta_0+\theta_1 x_1+...+\theta_k x_k+\varepsilon		
	\end{equation}
	其中，$y$是可观测的随机变量，$\theta_i(i=0,...,k)$是未知参数，称为回归系数，$\varepsilon$是不可观测的随机
	误差，且
	\begin{equation}
		E(\varepsilon)=0, \quad D(\varepsilon)=\sigma_2		
	\end{equation}
	其中,$\sigma_2$是未知参数，自变量$x_1,x_2,...,x_k$常称为回归因子或预报因子。\newline
	取因子$n$组不同的值$(x_{i1},x_{i2},...,x_{ik})(i=1,...,n)$（也可以是观测到$n$组不同的值），
	分别进行$n$次独立实验，得因变量$y$的$n$个独立的观测值$y_1,y_2,...,y_n$。建立一般的多元线性回归模型如下所示
	\begin{equation}
		\left\{
				\begin{aligned}
				& y_i  = \theta_0+\theta_1 x_{i1}+...+\theta_k x_{ik}+\varepsilon_i \\
				& E(\varepsilon_i) =  0,\quad D(\varepsilon_i)=\sigma_2,\quad i=1,...,n \\
				& \varepsilon_1,...,\varepsilon_n \text{相互独立}
				\end{aligned}
				\right.		
	\end{equation}
	将其表述为矩阵向量形式如下：
	\begin{equation}
		\left\{
				\begin{aligned}
				& Y  = X {\bm{\theta}}+{\bm{\varepsilon}}, \\
				& E({\bm{\varepsilon}}) = \bm{0},\quad D({\bm{\varepsilon}})=\sigma_2 {\bm{I}}_n.
				\end{aligned}
				\right.		
	\end{equation}
	一般多元线性回归模型简记为$(Y,X{\bm{\theta}},\sigma_2 {\bm{I}}_n)$，当${\bm{\varepsilon}}$服从$n$维
	正态分布，称其为正态线性模型。对于线性模型，要考虑的统计推断问题如下:\newline
	\indent (1).未知参数${\bm{\theta}},\sigma_2$的点估计。估计准则可以是$\ell_1$范数或$\ell_2$范数。\newline
	\indent (2).模型线性关系是否显著。\newline
	\indent (3).最优回归变量的选择问题。通过不断检验每个回归变量的显著性，确定该回归变量是否保留。\newline
	\indent (4).复共线性问题。 通过主成分分析、Tikhonov正则化解决。\newline
	\indent (5).回归向量的规模控制问题。规模可以是$\ell_1$范数或$\ell_2$范数，实现方式是双准则正则化。实际上
				回归向量的规模控制就是解决复共线性问题，复共线性导致了解不唯一，在解空间中找到规模最小的解，
				这就形成了双准则正则化问题。正则化系数则可以通过不断的尝试对比，在误差拐点处取值，正则化系数
				的选取原则和系统辨识中的阶次辨识思想基本一致。			
	}
}
\par
{
	\mytitle{优化模型}
	\mycontent
	{
	构造理想线性模型如下（三维平面）：
	\begin{equation}
		y=a x+ b y+c,\quad (a=2,b=3,c=4)	
	\end{equation}
	\indent 通过从理想模型中采集随机样本$(x_i,y_i) \in {\bm{R}}_{2 \times n}$，得到输出$z_i$，
			并在输出上附加一定的正态随机噪声，得到了采样点和理想模型的云图如下所示
	}
	\begin{figure}[htpb]
		\centering
		\includegraphics[totalheight=4cm]{images/createdata.pdf}
		\caption{理想模型和采样样本} 
		\label{fig:graph}
	\end{figure}
	\mycontent
	{
	线性回归的首要目的是通过观测的参数$(x_i,y_i,z_i)$估计出参数$(a,b,c)$，线性模型的参数估计问题也就是线性回归分析，其数学问题可以转换凸优化问题。
	优化目的是选择合适的参数$(a,b,c)$，使得观测的样本和理想模型的误差标准最小，这个误差标准一般选择误差的$\ell_2范数$，也就是最小二乘。
	线性回归的优化模型如下：
		\begin{equation}
		\label{eq:optmodel}
			{\rm{min}} \quad {\| Y-X{\bm{\theta}} \|}_2^2
		\end{equation}
	\indent 其中，$Y=[y_1,y_2,...,y_n]^T$，$X_i=[x_i,y_i,z_i]^T$，$X=[X_1,X_2,...,X_n]^T$，${\bm{\theta}}=[a,b,c]^T$。

	}
}
\par
{
	\mytitle{优化求解}
	\mycontent
	{
	优化模型公式如\eqref{eq:optmodel}所示。目标函数式凸函数，该模型是一个凸优化模型，所以存在全局最优解。
	根据一阶最优化必要条件
		\begin{equation}
			\nabla f(x^*)=0
		\end{equation}
	求式\eqref{eq:optmodel}所示的目标函数的一阶条件，得到如下所示的正规方程
		\begin{equation}
			X^T X {\bm{\theta}}=X^T Y
		\end{equation}
	本文中$X$列满秩，故而$X^T X$可逆，所以可以得到${\bm{\theta}}$的最小二乘估计如下
		\begin{equation}
			\widehat{\bm{\theta}}=(X^T X )^{-1} X^T Y
		\end{equation}
	如果$X$不是列满秩或者$X^T X$的条件数太大，最小二乘估计的误差较大，可以采用岭回归（Tikhonov正则化）或者
	主成分分析等方式改善优化模型。
	}
}
\par
{
	\mytitle{计算结果}
	\mycontent
	{
	通过变量的观测和优化模型的求解，可以得到计算结果如下所示：
	}
	\begin{figure}[htpb]
	\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
		\centering
		\includegraphics[height=4cm]{images/linearoriginpy.pdf}
		\caption{原始模型和样本点}
		\label{fig:side:a}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
		\centering
		\includegraphics[height=4cm]{images/linearresultpy.pdf}
		\caption{辨识模型和样本点}
		\label{fig:side:b}
	\end{minipage}
	\end{figure}

	\indent 本文程序的Python实现如下所示：
	\outpython{mylinear.py}
	\newline
	\indent 本文程序的Matlab实现如下所示：
	\outmatlab{mylinear.m}
}
\end{document}